PHƯƠNG PHÁP CM GIỚI HẠN DÃY DAO ĐỘNG QUANH ĐIỂM HỘI TỤ

Xét dãy số $(x_n)$ thảo mãn công thức truy hồi nào đó,và ta tìm lim của một biểu thức (*)
Thường trong các bài toán dãy số về giới hạn ta có các dạng sau:
+Biểu thức (*) tăng hoặc giảm,thì bài toán này đã quá quen thuộc vì dãy tăng(giảm) bị chặn trên(dưới) thì có giới hạn
+Biểu thức (*) dao động quanh điểm hội tụ,trường hợp này sẽ cần thêm cung cụ đề cập trong bài viết này

1.Dãy con,giới hạn riêng,sup và inf:
-Khái niệm dãy con của dãy $(x_n)$,kí hiệu $(x_{n_k})_k$ là dãy $x_{n_1},x_{n_2},...,x_{n_k}$
-Cận trên bé nhất(nếu có) của dãy A,kí hiệu là supA;cận dưới lớn nhất (nếu có) của A kí hiệu là infA,hay
$M=supA$$<=>$$M>=x$,$\forall x \in A$ và $\forall e>0,\exists a \in A:a>M-e$
$M=infA$<=>$M=<x$,$\forall x \in A$ và $\forall e>0,\exists a \in A:a<M+e$
Định lí 1:Dãy A khác rỗng bị chặn thì có sup và có inf
Định lí 2:Nếu A bị chặn trên thì A có dãy con $x_n$ thỏa $lim_n=supA$ và nếu A bị chặn dưới thì A có dãy con $y_n$ thỏa mãn $limy_n=infA$
-Mỗi dãy con của $x_n$ hội tụ tại giới hạn riêng của $x_n$,khi đó giới hạn riêng lớn nhất là $lim supx_n$,tương tự giới hạn riêng bé nhất là $lim infx_n$
Từ định lí Cantor và định lí Bolzano-Weierstrass,ta có:
Định lí 3:Mọi dãy số thực đều có giới hạn trên và giới hạn dưới
Định lí 4: $x_n$ hội tụ <=> $lim supx_n=lim infx_n$
khi đó $lim x_n=lim supx_n=lim infx_n$
2.Các ví dụ:
VD1:(Olympic 30.4.2000):Cho $x_n$ thỏa:
$0<=x_{n+m}<=x_n+x_m$
CMR:$y_n= \frac{x_n}{n}$ có giới hạn hữu hạn
Lời giải:
Nhìn vào điều kiện cần chứng minh ta có thể sử dụng định lí trung bình Casero,nhưng chủ đề bài viết sử dụng giới hạn trên và dưới,dễ thấy dãy này chẳng tăng cx chẳng giảm nên không thể làm theo cách thông thường:
Do $\frac{x_n}{n}>0$ nên $y_n$ có giới hạn dưới hay $inf \frac{x_n}{n}=infA$
Do đó với mỗi e>0 tồn tại m sao cho $infy_n<= \frac{x_m}{m}<infy_n +e$
với mọi n ta có n=mq+r với 0<=r<=m-1
Ta có $x_n<=qx_m+x_r$ nên $y_n<= \frac{qx_m+r}{mq+r}=\frac{x_m}{m}. \frac{mq}{mq+r}+ \frac{x_r}{n}$
dễ thấy limVp=infA nên ta có đpcm