BÀI TOÁN KẾT HỢP ĐA THỨC VÀ SỐ HỌC

Bài toán đã được đăng trên tạp chí PI tháng 8 năm 2017

BÀI TOÁN:Cho dãy số nguyên dương $(a_n)$ và đa thức nguyên $P(x)$ thỏa mãn:
i) $m-n|a_m-a_n$
ii) $a_n<P(n)$ với mọi $n$
CMR:tồn tại đa thức hệ số nguyên $Q(x)$ sao cho $Q(n)=a_n$ với mọi $n$
LỜI GIẢI:(dựa trên ý tưởng bài đăng tạp chí pi)
Đặt $k=deg P$ thì ta có tồn tại $Q(x)$ bậc nhỏ hơn hoặc bằng $k$ thỏa $Q(n)$=$a_n$ với mọi n từ M-k đến M(M chọn sau)(1)
Ta có thể giả sử $Q(x)$ là đa thức nguyên(nếu không nhân tất cả $a_i$ cùng một hệ số)
Do đó sử dụng quy nạp
Trước hết ta có bổ đề sau:
$lcm(M-k,M-k+1,...,M+1) >c.M^{k+1}$với M đủ lớn và số c nguyên dương nào đó  (*)
Phần chứng minh dành cho bạn đọc
Ta chứng minh quy nạp cho (1)
Ta có $M+1-t|a_{M+1}-a_t=a_{M+1}-Q(M+1)+Q(M+1)-Q(t)$=>$M+1-t|a_{M+1}-Q(M+1)$
Khi đó:$lcm(M-k+1,M-k+2,...,M+1)|a_{M+1}-Q(M+1)$,nên nếu $|a_{M+1}-Q(M+1)| =!0$ thì $|a_{M+1}-Q(M+1)| >c.M^{k+1}$ từ đây dễ thấy vô lý(vì $a_{M+1}$ bé hơn P)
Từ đây ta chứng được với mọi số lớn hơn $M-k+1$,tương tự xét l<M-k+1 thì có $l-t|a_l-Q(l)$ với mọi $t >M-k+1$, từ đây dẫn đến $a_l=Q(l)$