LỜI GIẢI BÀI SỐ HỌC HSGSTST

Đề bài:Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho với mọi số nguyên $k$ thì tồn tại $m$ để $n|m^4+m^3+m^2+k$
Lời giải:
+$n=1$ và $n=2$ thỏa
+Xét $n>=3$
Khi đó $\{m^4+m^3+m^2,m=0,n-1\}$ là hê thặng dư đầy đủ mod $n$ (gọi là hệ (1))
Xét $p|n$,$p>=3$,$p$ lẻ (nếu có),khi đó có $\frac{n}{p}$ phần tử của (1) chia hết cho $p$
Nếu $(\frac{-3}{p}) \in {0;1}$ thì tồn tại  $t$ để $p|t^2+t+1$ khi đó có $>\frac{n}{p}$ phần tử của (1) chia hết cho $p$,vô lý.
Như vậy $n$ không chia hết cho 3
Mặt khác dễ cm $n$ không chia hết cho 4( chọn k=2)
Đặt $n=2^s.t$ với $s<2$,nếu t không là số nguyên tố thì $t=ab$,$a>=b>=5$,áp dụng bổ đề trên được $(\frac{-3}{a})=(\frac{-3}{b})=(\frac{-3}{t})=-1$,vô lý.Nên $n \in \{t,2t|t is prime\}$
TH1:$n=t$
Chọn $k=2$ được $m^4+m^3+m^2+2=((m+1)^2+1)(m^2-m+1)$ nên tương tự trên ta có $(\frac{-1}{t})=1$
từ đó ta có $(p-1)!= \prod_{k=1}^{p-1}(m^4+m^3+m^2)=((\frac{p-1}{2})!)^2=1$ vô lí.
TH2:$n=2t$
Khi đó cm đc $\{m^4+m^3+m^2,m=0,n-1\}$ là hê thặng dư đầy đủ mod $t$,đưa về TH1
KL:$n \in \{1;2\}$